exercice de mathématiques

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exercice de mathématiques

Message par Giovanni le Mer 1 Mar - 10:59

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EXERCICE 3
Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches.
Ces k + 3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement
et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :
- un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
- un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire;
- un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas
là qu’il gagne la partie.
Partie A
Dans la partie A, on pose k = 7.
Ainsi l’urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.
1. Un joueur joue une partie. On note p la probabilité que le joueur gagne la partie, c’est-à-dire
la probabilité qu’il ail tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que p = 0, 42.
2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et indépendantes.
On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur,
et pn la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des n parties.
a. Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
b. Exprimer pn en fonction de n, puis calculer p10 en arrondissant au millième.
c. Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité
de gagner au moins une fois soit supérieure à 99%.

Giovanni
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